微积分学示例

$\int_{0}^{9} (\sqrt{x} - \frac{1}{3} x) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

解题步骤 5

由于 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $9$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.8

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.10.1

约去公因数。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.10.2

重写表达式。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.12

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.13

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.14

将 $18$ 和 $0$ 相加。

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.15

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $81$ 。

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 7.3.17

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 7.3.18

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 7.3.19

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

解题步骤 7.3.20

将 $\frac{81}{2}$ 和 $0$ 相加。

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

解题步骤 7.3.21

将 $\frac{81}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.3.22

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$18 - \frac{81}{6}$

解题步骤 7.3.23

约去 $81$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.23.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

解题步骤 7.3.23.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.23.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.23.2.2

约去公因数。

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.23.2.3

重写表达式。

$18 - \frac{27}{2}$

解题步骤 7.3.24

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

解题步骤 7.3.25

组合 $18$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

解题步骤 7.3.26

在公分母上合并分子。

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

解题步骤 7.3.27

化简分子。

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解题步骤 7.3.27.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{36 - 27}{2}$

解题步骤 7.3.27.2

从 $36$ 中减去 $27$ 。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9}{2}$

小数形式：

$4.5$

带分数形式：

$4 \frac{1}{2}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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