微积分学示例

$\int_{1}^{27} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 在 $27$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

解题步骤 7.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $27$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3

化简。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $81$ 。

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.6

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.10

从 $243$ 中减去 $3$ 。

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.11

约去 $240$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.11.1

从 $240$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.3.11.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.11.2.4

用 $60$ 除以 $1$ 。

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $27$ 之间的距离为 $27$ 。

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

解题步骤 7.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

解题步骤 7.3.3

用 $27$ 除以 $1$ 。

$60 - \ln (27)$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

将 $\ln (27)$ 重写为 $\ln (3^{3})$ 。

$60 - \ln (3^{3})$

解题步骤 8.2

通过将 $3$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{3})$ 。

$60 - (3 \ln (3))$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$60 - 3 \ln (3)$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$60 - 3 \ln (3)$

小数形式：

$56.70416313 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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