微积分学示例

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 2 y y'$

解题步骤 2.3

重新排序项。

$2 y y' + 2 x$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x + y + 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

解题步骤 3.4

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + y' + 0$

解题步骤 3.5

将 $2 + y'$ 和 $0$ 相加。

$2 + y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

解题步骤 5.3

从 $2 y y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

解题步骤 5.3.2

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

解题步骤 5.3.3

从 $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

解题步骤 5.4

将 $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ 中的每一项除以 $2 y - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ 中的每一项都除以 $2 y - 1$ 。

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $2 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.3.3

从 $2 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.3.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.3.3.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

解题步骤 5.4.3.3.3

从 $2 (1) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

解题步骤 7

使用表达式中的 $- 3$ 替换 $x$ ，使用 $1$ 替换 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

解题步骤 8.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

解题步骤 8.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{1}$

解题步骤 8.3.2

用 $8$ 除以 $1$ 。

$8$

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