微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

解题步骤 4

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

通过将 $u^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 5} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 5}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ 。

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ 重写为 $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{u^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 移到 $u^{4}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

解题步骤 8

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

解题步骤 9.2

分离分数。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

解题步骤 9.3

将 $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ 转换成 $\csc^{4} (x)$ 。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

解题步骤 9.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

解题步骤 9.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\csc^{4} (x)$ 。

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

解题步骤 9.6

重新排序项。

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例