微积分学示例

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{2}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

解题步骤 3

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

解题步骤 4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 5.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 5.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 5.3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 7.1

移动 $x^{- 3}$ 。

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

解题步骤 7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

解题步骤 7.3

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$x^{- 1} \cdot - 2$

解题步骤 8

将 $- 2$ 移到 $x^{- 1}$ 的左侧。

$- 2 \cdot x^{- 1}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x}$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{- 2}{x}$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x}$

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