微积分学示例

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

解题步骤 1.2

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ 。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.5

合并分数。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

解题步骤 4.5.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.2

从 $- x e^{- x} - e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.6

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.7

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

解题步骤 5.9

将 $\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

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