微积分学示例

$x^{4} - 5 x^{3} y^{2} + 2 y^{4}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{4} - 5 x^{3} y^{2} + 2 y^{4}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{4}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{4}]$

解题步骤 1.2

因为 $x^{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{4}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{4}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [- 5 x^{3} y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 5 x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 x^{3} y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- 5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$0 - 5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{4}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y^{4}]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$0 - 10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [2 y^{4}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y^{4}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y^{4}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$0 - 10 x^{3} y + 2 \frac{d}{d y} [y^{4}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 - 10 x^{3} y + 2 (4 y^{3})$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$0 - 10 x^{3} y + 8 y^{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $0$ 中减去 $10 x^{3} y$ 。

$- 10 x^{3} y + 8 y^{3}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$8 y^{3} - 10 x^{3} y$

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