微积分学示例

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 4$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = k^{2} + 4$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $k^{2} + 4$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7

重新排序项。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $| k^{2} + 4 |$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$

微积分学 示例

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