微积分学示例

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3} - 8$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 8$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{3} - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{3} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 1.2.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ 的因式。

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

解题步骤 1.3.2

将 $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

解题步骤 3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

解题步骤 4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

解题步骤 5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

解题步骤 6

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$y' (2) = 12 e^{0}$

解题步骤 7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$y' (2) = 12 \cdot 1$

解题步骤 8

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$y' (2) = 12$

微积分学 示例

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