微积分学示例

$π \cos (π x)$

解题步骤 1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π \cos (π x)$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ 。

$π \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $π x$ 。

$π (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$π (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$π (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 3

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin (π x) (π^{1} π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin (π x) (π^{1} π^{1} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin (π x) (π^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin (π x) (π^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (π x) (π^{2} \cdot 1)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (π x) π^{2}$

解题步骤 9.2

重新排序 $- \sin (π x) π^{2}$ 的因式。

$- π^{2} \sin (π x)$

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