微积分学示例

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{3 x^{3}})]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [arcsec (x \sqrt{3 x})]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $3 x^{3}$ 重写为 $x^{2} \cdot (3 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{3 (x^{2} x)})]$

解题步骤 1.1.2

将 $3$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{x^{2} \cdot 3 x})]$

解题步骤 1.1.3

添加圆括号。

$\frac{d}{d x} [arcsec (\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)})]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [arcsec (x \sqrt{3 x})]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (x {(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [arcsec (x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))]$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}}))]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}})]$

解题步骤 7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

解题步骤 7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsec (x)$ 且 $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 8.2

$arcsec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 8.3

使用 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 9

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

因为 $3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 9.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 9.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 13

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 13.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 14

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 15

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

解题步骤 16

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

解题步骤 16.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 17.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 17.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 17.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 17.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 17.2

化简 $2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

对 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 18.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1

将 ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 18.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 18.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 18.2.2

计算指数。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 18.2.3

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

解题步骤 18.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.3.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

解题步骤 18.2.3.2.2

重写表达式。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

解题步骤 18.3

将 $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

解题步骤 18.4

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.4.1

将 $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

解题步骤 18.4.2

移动 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

解题步骤 18.4.3

对 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

解题步骤 18.4.4

对 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

解题步骤 18.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 18.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

解题步骤 18.4.7

将 ${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ 重写为 $3 x^{3} - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 重写成 ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 18.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 18.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 18.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 18.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

解题步骤 18.4.7.5

化简。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例