微积分学示例

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $b$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 ${(x - b)}^{10}$ 的指数 $10$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $b$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $b$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $b$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $4 b$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $b$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $b$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $b$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $b$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.8.1

合并 ${(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.8.1.1

从 $b$ 中减去 $b$ 。

$\frac{0^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.8.1.2

将 $- 4 b$ 和 $4 b$ 相加。

$\frac{0^{10} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.8.1.3

将 $0^{10}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0^{10}}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.2.8.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $b$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $b$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $b$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $b$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{b - b}$

解题步骤 1.1.3.3

从 $b$ 中减去 $b$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， ${(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ 。

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{10}$ 且 $g (x) = x - b$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - b$ 。

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 u^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $x - b$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.2

根据加法法则， $x - b$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $- b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $4 b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.6

将 $10 {(x - b)}^{9} - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x - b$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1}$

解题步骤 1.4

用 $10 {(x - b)}^{9} - 4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - 4$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $b$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

解题步骤 2.2

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$10 lim_{x \to b} {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

解题步骤 2.3

使用极限幂法则把 ${(x - b)}^{9}$ 的指数 $9$ 移到极限外。

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $b$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$10 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

解题步骤 2.5

计算 $b$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $b$ 时此极限值为常数。

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

解题步骤 2.6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $b$ 时此极限值为常数。

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

解题步骤 3

将 $b$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$10 {(b - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

从 $b$ 中减去 $b$ 。

$10 \cdot 0^{9} - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$10 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$0 - 4$

解题步骤 4.3

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 4$

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