微积分学示例

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ 。

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 移到 $a$ 的左侧。

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2} x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

解题步骤 2.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y^{2}$ 且 $g (x) = x$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.4.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.4.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

解题步骤 2.4.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

解题步骤 2.4.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

解题步骤 3

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $y^{2}$ 。

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $5 x^{4} a$ 。

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

解题步骤 5.1.3

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y$ 。

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

解题步骤 5.2

从 $x^{3} y' - 2 x y y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{3} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 x y y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

解题步骤 5.2.3

从 $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

解题步骤 5.3

将 $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ 中的每一项除以 $x (x^{2} - 2 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ 中的每一项都除以 $x (x^{2} - 2 y)$ 。

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x^{2} - 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 5 x^{4} a$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- 3 x^{2} y$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x^{2} - 2 y)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(x^{2} - 2 y) x$ 的因式。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.5.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

解题步骤 5.3.3.6

要将 $- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 5.3.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x^{2} - 2 y)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

解题步骤 5.3.3.7.2

重新排序 $(x^{2} - 2 y) x$ 的因式。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.8

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.9.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 5.3.3.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

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