微积分学示例

$f (x) = x^{2}$ , $[0, 3]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $27$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.3

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.3.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

解题步骤 6.2.5

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 6.2.6

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 0)$

解题步骤 6.2.7

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9)$

解题步骤 7

化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 9$

解题步骤 7.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 9$

解题步骤 8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (3))$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$A (x) = 3$

解题步骤 9

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