微积分学示例

$y = x^{2} + x + 2$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

解题步骤 2.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

计算 $f (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.2.4

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 3.2.3

求公分母。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 2$

解题步骤 3.2.3.3

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

解题步骤 3.2.3.4

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.2.3.5

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.2.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 8}{4}$

解题步骤 3.2.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 8}{4}$

解题步骤 3.2.5.3

将 $- 1$ 和 $8$ 相加。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $\frac{7}{4}$ 。

$\frac{7}{4}$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

解题步骤 5

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