微积分学示例

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

将 $x^{3}$ 重写为 ${(x^{3})}^{1}$ 。

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x^{3}$ 。然后使 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x^{3}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简。

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{u_{1} + 1}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $u_{1} + 1$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 8

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 8.1

使用 $u_{1} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

解题步骤 8.2

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$

微积分学 示例

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