微积分学示例

$- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

解题步骤 1

将 $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{15} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

组合 $\frac{- 6}{15}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.6

约去 $- 6$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.6.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.6.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $- \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $- \frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x^{5}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.6

组合 $\frac{- 10}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.7

约去 $- 10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.7.1

从 $- 10 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.7.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.4

用 $- 2 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 x^{4} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 x^{4} + 24 (3 x^{2})$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $24$ 。

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 72 x^{2}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ 。

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 2 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 2 u^{2} + 72 u = 0$

解题步骤 2.2.2.3

从 $- 2 u^{2} + 72 u$ 中分解出因数 $2 u$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.1

从 $- 2 u^{2}$ 中分解出因数 $2 u$ 。

$2 u (- u) + 72 u = 0$

解题步骤 2.2.2.3.2

从 $72 u$ 中分解出因数 $2 u$ 。

$2 u (- u) + 2 u (36) = 0$

解题步骤 2.2.2.3.3

从 $2 u (- u) + 2 u (36)$ 中分解出因数 $2 u$ 。

$2 u (- u + 36) = 0$

解题步骤 2.2.2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 36 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.5

将 $- x^{2} + 36$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $- x^{2} + 36$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{2} + 36 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

求解 $x$ 的 $- x^{2} + 36 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从等式两边同时减去 $36$ 。

$- x^{2} = - 36$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $- x^{2} = - 36$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

将 $- x^{2} = - 36$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 36}{- 1}$

解题步骤 2.2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.5.2.2.3.1

用 $- 36$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 36$

解题步骤 2.2.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{36}$

解题步骤 2.2.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{36}$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.4.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 2.2.5.2.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 6$

解题步骤 2.2.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 6$

解题步骤 2.2.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 6$

解题步骤 2.2.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 6, - 6$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 6, - 6$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 6)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 8$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{4} + 72 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4096$ 。

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

解题步骤 5.2.1.4

将 $72$ 乘以 $64$ 。

$f'' (- 8) = - 8192 + 4608$

解题步骤 5.2.2

将 $- 8192$ 和 $4608$ 相加。

$f'' (- 8) = - 3584$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 3584$ 。

$- 3584$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - 6)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 8)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 6)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(- 6, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{4} + 72 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $81$ 。

$f'' (- 3) = - 162 + 72 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - 162 + 72 \cdot 9$

解题步骤 6.2.1.4

将 $72$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = - 162 + 648$

解题步骤 6.2.2

将 $- 162$ 和 $648$ 相加。

$f'' (- 3) = 486$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $486$ 。

$486$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 6, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 6, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(0, 6)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{4} + 72 {(3)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(3)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $81$ 。

$f'' (3) = - 162 + 72 {(3)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3) = - 162 + 72 \cdot 9$

解题步骤 7.2.1.4

将 $72$ 乘以 $9$ 。

$f'' (3) = - 162 + 648$

解题步骤 7.2.2

将 $- 162$ 和 $648$ 相加。

$f'' (3) = 486$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $486$ 。

$486$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(0, 6)$ 上向上凹，因为 $f'' (3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 6)$ 上为向上凹

解题步骤 8

将区间 $(6, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4096$ 。

$f'' (8) = - 8192 + 72 {(8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

解题步骤 8.2.1.4

将 $72$ 乘以 $64$ 。

$f'' (8) = - 8192 + 4608$

解题步骤 8.2.2

将 $- 8192$ 和 $4608$ 相加。

$f'' (8) = - 3584$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 3584$ 。

$- 3584$

解题步骤 8.3

图像在区间 $(6, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (8)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(6, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 6)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 6, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 6)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(6, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 10

微积分学 示例

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