微积分学示例

$- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

解题步骤 1

将 $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- \frac{3}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{5} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.6

组合 $\frac{- 15}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.7

约去 $- 15$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.7.1

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.7.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.2.7.2.4

用 $- 3 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 3 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 x^{4} + 7 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $- 3 x^{4} + 28 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2})$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $28$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ 。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} x + 84 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2.2

从 $84 x^{2}$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot - 7 = 0$

解题步骤 2.2.2.3

从 $- 12 x^{2} (x) - 12 x^{2} (- 7)$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} (x - 7) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.5

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $- 12 x^{2} (x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 7$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = - 12 {(- 2)}^{3} + 84 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = - 12 \cdot - 8 + 84 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (- 2) = 96 + 84 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = 96 + 84 \cdot 4$

解题步骤 5.2.1.4

将 $84$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- 2) = 96 + 336$

解题步骤 5.2.2

将 $96$ 和 $336$ 相加。

$f'' (- 2) = 432$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $432$ 。

$432$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(0, 7)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = - 12 {(4)}^{3} + 84 {(4)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = - 12 \cdot 64 + 84 {(4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $64$ 。

$f'' (4) = - 768 + 84 {(4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = - 768 + 84 \cdot 16$

解题步骤 6.2.1.4

将 $84$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = - 768 + 1344$

解题步骤 6.2.2

将 $- 768$ 和 $1344$ 相加。

$f'' (4) = 576$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $576$ 。

$576$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, 7)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 7)$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(7, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (10) = - 12 {(10)}^{3} + 84 {(10)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (10) = - 12 \cdot 1000 + 84 {(10)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $1000$ 。

$f'' (10) = - 12000 + 84 {(10)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (10) = - 12000 + 84 \cdot 100$

解题步骤 7.2.1.4

将 $84$ 乘以 $100$ 。

$f'' (10) = - 12000 + 8400$

解题步骤 7.2.2

将 $- 12000$ 和 $8400$ 相加。

$f'' (10) = - 3600$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 3600$ 。

$- 3600$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(7, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (10)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(7, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 7)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(7, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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