微积分学示例

$y = 2 \sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$ 重写成 ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = 2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 6 x^{2} - 8 x + 5$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x^{2} - 8 x + 5$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.2.3

使用 $6 x^{2} - 8 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.7

化简项。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

解题步骤 4.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

解题步骤 4.7.5

约去公因数。

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

解题步骤 4.7.6

重写表达式。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $6 x^{2} - 8 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.11

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.12

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.14

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.15

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + 0)$

解题步骤 4.16

将 $12 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$

解题步骤 4.17

化简。

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解题步骤 4.17.1

重新排序 $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$ 的因式。

$(12 x - 8) \frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.2

将 $12 x - 8$ 乘以 $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{12 x - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.3

从 $12 x - 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.17.3.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3 x) - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.3.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.3.3

从 $4 (3 x) + 4 (- 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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