微积分学示例

$y = x y^{2} + 4 x - y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x y^{2} + 4 x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- y'$ 中减去 $y'$ 。

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

解题步骤 5.4

从 $2 x y y' - 2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 x y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

解题步骤 5.4.2

从 $- 2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

解题步骤 5.4.3

从 $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

解题步骤 5.5

将 $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ 中的每一项除以 $2 (x y - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ 中的每一项都除以 $2 (x y - 1)$ 。

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $x y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

解题步骤 5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

解题步骤 5.5.3.2

要将 $- \frac{2}{x y - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (x y - 1)$ 的形式。

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解题步骤 5.5.3.3.1

将 $\frac{2}{x y - 1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

解题步骤 5.5.3.3.2

重新排序 $(x y - 1) \cdot 2$ 的因式。

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.6

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.7

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.8

从 $- (y^{2}) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.5.3.9.1

将 $- (y^{2} + 4)$ 重写为 $- 1 (y^{2} + 4)$ 。

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 5.5.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

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