微积分学示例

$\frac{x^{2} + 4}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2} + 4}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 4}{x} d x$

解题步骤 4

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{4}{x} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 6.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\int x d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 \ln (| x |) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 \ln (| x |) + C$

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