微积分学示例

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 移到 $(x + 1) e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1 (x + 1)$ 重写为 $- (x + 1)$ 。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $- e^{- x}$ 中减去 $e^{- x}$ 。

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 $- e^{- x} x$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

从 $- 2 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3

从 $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

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