微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

解题步骤 1

用 $x^{2} - 1$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

解题步骤 1.11

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ 和 $- x]_{1}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.5

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.6

一的任意次幂都为一。

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

解题步骤 5.2.2.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.2.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.2.2.11

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.12

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 - \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.13

将负号移到分数的前面。

$0 - - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.2.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.16

将 $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

解题步骤 7

微积分学 示例

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