微积分学示例

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 10^{x}$ 且 $g (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 。

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $10$ 。

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x + 0)$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $3 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 2.7.2

重新排序 $10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x)$ 的因式。

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} (3 x^{2} - 8 x) \ln (10)$

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