微积分学示例

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

解题步骤 1

分解总和使 $p$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

解题步骤 2.2

计算 $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

解题步骤 2.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$- 9 (\frac{72}{2})$

解题步骤 2.2.3.3

用 $72$ 除以 $2$ 。

$- 9 \cdot 36$

解题步骤 2.2.3.4

将 $- 9$ 乘以 $36$ 。

$- 324$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.2

将值代入公式中。

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

从 $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

解题步骤 2.3.3.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.3.1

将 $36$ 乘以 $17$ 。

$\frac{612}{3}$

解题步骤 2.3.3.3.2

用 $612$ 除以 $3$ 。

$204$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$- 324 + 204$

解题步骤 2.5

将 $- 324$ 和 $204$ 相加。

$- 120$

解题步骤 3

计算 $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

展开 $p$ 每个取值的序列。

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 9 + 1^{2}$

解题步骤 3.2.2

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 9 + 1$

解题步骤 3.2.3

将 $- 9$ 和 $1$ 相加。

$- 8$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- 120 + 8$

解题步骤 5

将 $- 120$ 和 $8$ 相加。

$- 112$

微积分学 示例

微积分学示例