微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \cos (x + 2) - x^{2}}{4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 \cos (x + 2) - x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 \cos (x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.4

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.7

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \cos (- 2 + 2) - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \cos (- 2 + 2) - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.8.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 \cos (0) - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.8.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4 \cdot 1 - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.8.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.8.1.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{x \to - 2} e^{- 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将极限移入指数中。

$\frac{0}{4 e^{lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{4 e^{- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 e^{- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x} - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.8

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.8.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2} - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2} - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9

化简答案。

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解题步骤 1.3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.9.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{4 e^{- 4 + 4} - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9.1.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{4 e^{0} - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{4 \cdot 1 - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{4 - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9.1.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.3.9.1.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.3.9.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.9.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \cos (x + 2) - x^{2}}{4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2) - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2) - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $4 \cos (x + 2) - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cos (x + 2)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x + 2)]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [\cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - 2 x}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{- 4 - 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 - 2 x}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 4 - 2 x$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 4 - 2 x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.2.3

使用 $- 4 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.3

根据加法法则， $- 4 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.8

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- 4 - 2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (- 2 e^{- 4 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.7.10

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - (2 x)}$

解题步骤 3.8.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - 2 x}$

解题步骤 3.9

重新排序项。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 4

约去 $- 2 x - 4 \sin (x + 2)$ 和 $- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x) - 4 \sin (x + 2)}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 4.2

从 $- 4 \sin (x + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x) + 2 (- 2 \sin (x + 2))}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 4.3

从 $2 (- x) + 2 (- 2 \sin (x + 2))$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 4.4

约去公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x) - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 4.4.2

从 $- 8 e^{- 4 - 2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x) + 2 (- 4 e^{- 4 - 2 x})}$

解题步骤 4.4.3

从 $2 (- x) + 2 (- 4 e^{- 4 - 2 x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x - 4 e^{- 4 - 2 x})}$

解题步骤 4.4.4

约去公因数。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x - 4 e^{- 4 - 2 x})}$

解题步骤 4.4.5

重写表达式。

$lim_{x \to - 2} \frac{- x - 2 \sin (x + 2)}{- x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} - x - 2 \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2 \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 lim_{x \to - 2} \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 10

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 12

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 lim_{x \to - 2} e^{- 4 - 2 x}}$

解题步骤 13

将极限移入指数中。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x}}$

解题步骤 14

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x}}$

解题步骤 15

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x}}$

解题步骤 16

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

解题步骤 17

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 17.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

解题步骤 17.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

解题步骤 17.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

解题步骤 17.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18

化简答案。

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解题步骤 18.1

约去 $2 - 2 \sin (- 2 + 2)$ 和 $2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.1.2

从 $- 2 \sin (- 2 + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (- 2 + 2))}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.1.3

从 $2 (1) + 2 (- \sin (- 2 + 2))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.1.4

约去公因数。

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解题步骤 18.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1) - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.1.4.2

从 $- 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1) + 2 (- 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

解题步骤 18.1.4.3

从 $2 (1) + 2 (- 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

解题步骤 18.1.4.4

约去公因数。

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

解题步骤 18.1.4.5

重写表达式。

$\frac{1 - \sin (- 2 + 2)}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.2

化简分子。

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解题步骤 18.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 - \sin (0)}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1 - 0}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

解题步骤 18.3

化简分母。

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解题步骤 18.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{1 - 2 e^{- 4 + 4}}$

解题步骤 18.3.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{1 - 2 e^{0}}$

解题步骤 18.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1}$

解题步骤 18.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 - 2}$

解题步骤 18.3.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 18.4

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- 1$

微积分学 示例

微积分学示例