微积分学示例

$\frac{5 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{5 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2.2.3

在公分母上合并分子。

$5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.3.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.3.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 5.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $5 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$5 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 7.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$10 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{5 \sqrt{x}}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $10 x^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

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