微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x + 7}{\sqrt{9 x^{6} + 1}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 2.2

约去 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 2.2.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 4

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

将极限移入根号内。

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 6.3

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{6}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

解题步骤 8.1.2

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

解题步骤 8.1.3

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

解题步骤 8.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 8.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 8.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

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