微积分学示例

$\sin (4 x + 5 y^{2}) = 5 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (4 x + 5 y^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 5 y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x + 5 y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $4 x + 5 y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x + 5 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

解题步骤 2.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

解题步骤 2.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

解题步骤 2.2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ 中的每一项除以 $\cos (4 x + 5 y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ 中的每一项都除以 $\cos (4 x + 5 y^{2})$ 。

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $\cos (4 x + 5 y^{2})$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $4 + 10 y y'$ 除以 $1$ 。

$4 + 10 y y' = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

分离分数。

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $\frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$ 转换成 $\sec (4 x + 5 y^{2})$ 。

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \sec (4 x + 5 y^{2})$

解题步骤 5.1.3.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$4 + 10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2})$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$

解题步骤 5.3

将 $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ 中的每一项除以 $10 y$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ 中的每一项都除以 $10 y$ 。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $5$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $5 \sec (4 x + 5 y^{2})$ 中分解出因数 $5$ 。

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

从 $10 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 4}{10 y}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去 $- 4$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{10 y}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.2.1

从 $10 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{2 (5 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (5 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 2}{5 y}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$

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