微积分学示例

$\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{10} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $\frac{5}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.5

约去 $5$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{4}}{2} - (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{4}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 x^{3} - 12 x^{2}$ 。

$2 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

从 $2 x^{3} - 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x - 6) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 3.6

最终解为使 $2 x^{2} (x - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 6$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $6$ 代入 $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

从 $7776$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.3

约去公因数。

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.4

重写表达式。

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 3888 - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $3888$ 。

$f (6) = \frac{3888}{5} - {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1 \cdot 1296$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1296$ 。

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296$

解题步骤 4.3.2.2

要将 $- 1296$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 4.3.2.3

组合 $- 1296$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f (6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5}$

解题步骤 4.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (6) = \frac{3888 - 1296 \cdot 5}{5}$

解题步骤 4.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.5.1

将 $- 1296$ 乘以 $5$ 。

$f (6) = \frac{3888 - 6480}{5}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $3888$ 中减去 $6480$ 。

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

解题步骤 4.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

解题步骤 4.3.2.7

最终答案为 $- \frac{2592}{5}$ 。

$- \frac{2592}{5}$

解题步骤 4.4

通过将 $6$ 代入 $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ 中求得的点为 $(6, - \frac{2592}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(6, - \frac{2592}{5})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 2 {(- 0.1)}^{3} - 12 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 2 \cdot - 0.001 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 \cdot 0.01$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 0.12$

解题步骤 6.2.2

从 $- 0.002$ 中减去 $0.12$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.122$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.122$ 。

$- 0.122$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.122$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 6)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$f'' (3) = 54 - 12 {(3)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3) = 54 - 12 \cdot 9$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $9$ 。

$f'' (3) = 54 - 108$

解题步骤 7.2.2

从 $54$ 中减去 $108$ 。

$f'' (3) = - 54$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 54$ 。

$- 54$

解题步骤 7.3

在 $3$ ，二阶导数为 $- 54$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 6)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 6)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(6, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $6.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6.1) = 2 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $6.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (6.1) = 2 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $2$ 乘以 $226.981$ 。

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $6.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 \cdot 37.21$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $37.21$ 。

$f'' (6.1) = 453.962 - 446.52$

解题步骤 8.2.2

从 $453.962$ 中减去 $446.52$ 。

$f'' (6.1) = 7.442$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $7.442$ 。

$7.442$

解题步骤 8.3

在 $6.1$ 处，二阶导数为 $7.442$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(6, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(6, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(6, - \frac{2592}{5})$ 。

$(6, - \frac{2592}{5})$

解题步骤 10

微积分学 示例

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