微积分学示例

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 相加。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.4.2

从 $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.4.2.3

从 $- 2 (1 + \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 4.4.2.4

从 $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 6.3

从 $- 1 - \ln (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.2

从 $- \ln (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.3

从 $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ 重写为 $- (1 + \ln (x^{2}))$ 。

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

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