微积分学示例

$\frac{1}{x} - x^{2}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x} - x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x} - x^{2} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x} d x + \int - x^{2} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C + \int - x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C - \int x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 8

化简。

$\ln (| x |) - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| x |) - \frac{1}{3} x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$