微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2

合并因数。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{6}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{6}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.3

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{3}{1}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.3.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.3

将极限移入根号内。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.5.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{\frac{3}{2}}$ 的指数 $\frac{3}{2}$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.1.3.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{\frac{3}{2}} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{\frac{3}{2}} - \sqrt{1}}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 2.1.3.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{3} - \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.7

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.5

根据加法法则， $x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.6

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.6.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.6.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.6.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 2.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.7.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

解题步骤 2.3.7.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.3.7.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 2.3.7.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 2.3.7.7

化简分子。

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解题步骤 2.3.7.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

解题步骤 2.3.7.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

解题步骤 2.3.7.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.3.7.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 2.3.7.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5

合并项。

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解题步骤 2.5.1

要将 $3 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.2

组合 $3 x^{2}$ 和 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.4

要将 $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.5

将 $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} \cdot 2 \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} \cdot 2 \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.5

因为项 $3 \cdot 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.8

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.10

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.11

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 3.12

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.13

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

解题步骤 3.14

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.15

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.16

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.17

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.18

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3.19

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

解题步骤 4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

解题步骤 4.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

解题步骤 4.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

解题步骤 4.6

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

约去 $\frac{1}{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

解题步骤 5.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.3

约去 $\sqrt{1}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$(3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.6

对 $\sqrt{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 ({\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.7

对 $\sqrt{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 ({\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{2} - 1}$

解题步骤 5.11

化简分母。

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解题步骤 5.11.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1}$

解题步骤 5.11.2

一的任意次幂都为一。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.11.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 - 1}$

解题步骤 5.11.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

解题步骤 5.12

化简每一项。

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解题步骤 5.12.1

一的任意次幂都为一。

$(6 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

解题步骤 5.12.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(6 \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

解题步骤 5.12.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$(6 \cdot 1 - 1) \frac{1}{2}$

解题步骤 5.12.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(6 - 1) \frac{1}{2}$

解题步骤 5.13

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.14

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{2}$

小数形式：

$2.5$

微积分学 示例

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