微积分学示例

$y = \frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{5}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{8} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{5}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{2}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{9}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- \frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{6} x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 。

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{8} + 0 + 3 (\frac{1}{6}) x^{- 4}$

解题步骤 1.4.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6} x^{- 4}$

解题步骤 1.4.5

组合 $\frac{3}{6}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 x^{- 4}}{6}$

解题步骤 1.4.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6 x^{4}}$

解题步骤 1.4.7

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

解题步骤 1.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.7.2.1

从 $6 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

解题步骤 1.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

解题步骤 1.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{1}{2 x^{4}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{5}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{8} + \frac{1}{2 x^{4}}$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 4}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.9

组合 $\frac{- 4}{2}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{- 4}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.11

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.11.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.11.2.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.2.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{5}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{8}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2}{x^{5}} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- \frac{2}{x^{5}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$- 2 (- 5 x^{- 6})$

解题步骤 3.4

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$10 x^{- 6}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$10 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $10$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$f''' (x) = \frac{10}{x^{6}}$

微积分学 示例

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