微积分学示例

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{4}{5}}$ 。

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.9

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 。

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

乘以 $\frac{4}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{4}{5}$ 。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 4$ 中减去 $5$ 。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{9}{5}}$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

解题步骤 2.10

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ 。

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

解题步骤 2.11

乘。

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解题步骤 2.11.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

解题步骤 2.11.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{9}{5}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

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