微积分学示例

$e^{x} (1 + x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 + x$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$e^{x} \frac{d}{d x} [x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + (1 + x) e^{x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$e^{x} + 1 e^{x} + x e^{x}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

解题步骤 4.2.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$2 e^{x} + x e^{x}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 4.4

将 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

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