微积分学示例

$y = 10^{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (10^{x^{2} - 1})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 10^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $10$ 。

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x + 0)$

解题步骤 3.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

重新排序 $10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x)$ 的因式。

$2 \cdot 10^{x^{2} - 1} x \ln (10)$

解题步骤 3.3.2

将 $2 \cdot 10^{x^{2} - 1} x \ln (10)$ 中的因式重新排序。

$2 x \cdot 10^{x^{2} - 1} \ln (10)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 x \cdot (10^{x^{2} - 1} \ln (10))$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot (10^{x^{2} - 1} \ln (10))$

微积分学 示例

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