微积分学示例

$2 x^{10} - x^{6} + 5 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{10} - x^{6} + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{10}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{10}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$2 (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$20 x^{9} + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$20 x^{9} - \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$20 x^{9} - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$20 x^{9} - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$20 x^{9} - 6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$20 x^{9} - 6 x^{5} + 5 (2 x)$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 20 x^{9} - 6 x^{5} + 10 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $20 x^{9} - 6 x^{5} + 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [20 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{9}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{9}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ 。

$20 \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$20 (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $9$ 乘以 $20$ 。

$180 x^{8} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$180 x^{8} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$180 x^{8} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $5$ 乘以 $- 6$ 。

$180 x^{8} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$180 x^{8} - 30 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$180 x^{8} - 30 x^{4} + 10 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 180 x^{8} - 30 x^{4} + 10$

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