微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{\sqrt{2 x^{2} - x + 1}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

将极限移入根号内。

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

解题步骤 7.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0 + 0}}$

解题步骤 7.2.2

将 $2 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.4.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

小数形式：

$0.70710678 \dots$

微积分学 示例

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