微积分学示例

y = - 2 cos (- \frac{x}{2})

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ 对

$x$ 的导数是

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = \cos (x)$ 且

$g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$- \frac{x}{2}$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对

$u$ 的导数为

$- \sin (u)$ 。

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 1.2.3

使用

$- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 1.3.2

因为

$- \frac{1}{2}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{x}{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

化简项。

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解题步骤 1.3.3.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.2

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$- 2$ 。

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.3

组合

$\frac{- 2}{2}$ 和

$\sin (- \frac{x}{2})$ 。

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.4

约去

$- 2$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.4.1

从

$- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.3.4.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.4.2.4

用

$- \sin (- \frac{x}{2})$ 除以

$1$ 。

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$- \sin (- \frac{x}{2})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

因为

$\sin (- \frac{x}{2})$ 是一个奇函数，所以将

$\sin (- \frac{x}{2})$ 重写成

$- \sin (\frac{x}{2})$ 。

$- - \sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.4.2

乘以

$- - \sin (\frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.4.2.2

将

$\sin (\frac{x}{2})$ 乘以

$1$ 。

$\sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = \sin (x)$ 且

$g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$\frac{x}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对

$u$ 的导数为

$\cos (u)$ 。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

解题步骤 2.1.3

使用

$\frac{x}{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为

$\frac{1}{2}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{x}{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.2.2

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$\cos (\frac{x}{2})$ 。

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.2.4

将

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$\frac{x}{2} = 0$

解题步骤 6

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = π - 0$

解题步骤 8

求解

$x$ 。

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解题步骤 8.1

等式两边同时乘以

$2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

解题步骤 8.2

化简方程的两边。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π - 0)$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

从

$π$ 中减去

$0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 9

方程

$\frac{x}{2} = 0$ 的解。

$x = 0, 2 π$

解题步骤 10

计算在

$x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

约去

$0$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1

从

$0$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

解题步骤 11.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.1.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

解题步骤 11.1.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

解题步骤 11.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

解题步骤 11.1.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$\frac{\cos (0)}{2}$

解题步骤 11.2

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 13

求

$x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

用

$0$ 除以

$2$ 。

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

解题步骤 13.2.2

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = - 2 \cos (0)$

解题步骤 13.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$f (0) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 13.2.4

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$f (0) = - 2$

解题步骤 13.2.5

最终答案为

$- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 14

计算在

$x = 2 π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

解题步骤 15.1.2

用

$π$ 除以

$1$ 。

$\frac{\cos (π)}{2}$

解题步骤 15.2

化简分子。

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解题步骤 15.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{- \cos (0)}{2}$

解题步骤 15.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 15.2.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 15.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为负数，所以

$x = 2 π$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2 π$ 是一个极大值

解题步骤 17

求

$x = 2 π$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的

$2 π$ 替换变量

$x$ 。

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.1

约去公因数。

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

解题步骤 17.2.1.2

用

$π$ 除以

$1$ 。

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

解题步骤 17.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

解题步骤 17.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.2.4

乘以

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.2.4.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 17.2.4.2

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$f (2 π) = 2$

解题步骤 17.2.5

最终答案为

$2$ 。

$y = 2$

解题步骤 18

这些是

$f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ 的局部极值。

$(0, - 2)$ 是一个局部最小值

$(2 π, 2)$ 是一个局部最大值

解题步骤 19

微积分学 示例

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