微积分学示例

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

解题步骤 1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 2 \csc (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \csc (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

解题步骤 2.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.3.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.4

求微分。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.1.4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

解题步骤 2.1.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.1.4.5.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

解题步骤 2.1.4.5.2

重新排序 $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ 的因式。

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

解题步骤 3

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 5

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $- 2 \csc (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$

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