微积分学示例

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

解题步骤 2

使 $u_{1} = \sin (θ)$ 。然后使 $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ ，以便 $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = \sin (θ)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d θ}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sin (θ)$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$\cos (θ)$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 3

因式分解出 $\cos^{4} (u_{1})$ 。

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sin (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

解题步骤 6.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1})$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7

展开 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

将 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ 。

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.5

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.6

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.11

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

解题步骤 7.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

解题步骤 7.14

从 $- {u_{2}}^{2}$ 中减去 ${u_{2}}^{2}$ 。

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

解题步骤 7.15

将 $- 2 {u_{2}}^{2}$ 和 ${u_{2}}^{4}$ 重新排序。

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.16

移动 $1$ 。

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{2}}^{4}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 。

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{3}$ 。

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

解题步骤 13.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${u_{2}}^{5}$ 。

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $\sin (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

解题步骤 14.2

使用 $\sin (θ)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$

微积分学 示例

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