微积分学示例

${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\frac{1 - x}{x})}^{2} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{1 - x}{x}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(1 - x)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(1 - x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(1 - x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(1 - x)}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = 1 - x$ 。然后使 $d u_{1} = - d x$ ，以便 $- d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = 1 - x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $1 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 5.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int - {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = - u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = - d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = - u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $- u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $- u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$- 1 + 0$

解题步骤 7.1.4.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 1$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \int - {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- - \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 9.2

将 $\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 10

使 $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 ${u_{2}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

解题步骤 10.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{2}$

解题步骤 10.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int {(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}$ 。

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2}$ 和 ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ 。

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ 移动到分母。

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

解题步骤 11.4

将 ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ 。

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

解题步骤 13

应用指数的基本规则。

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解题步骤 13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{3}}$ 重写成 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

解题步骤 13.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ 重写成 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

解题步骤 13.3

通过将 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

解题步骤 13.4

将 ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

解题步骤 13.4.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 13.4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 13.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 ${(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ 重写为 $(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)$ 。

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.4

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.5

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.6

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.7

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.8

移动 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.9

移动 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.11

将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.13

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.15.1

约去公因数。

解题步骤 14.15.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.16

化简。

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.17

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 14.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.19

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.20

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.21

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.22

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.23

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.25

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.26

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.27

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.27.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.27.2

约去公因数。

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解题步骤 14.27.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.27.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.27.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.27.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.28

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.29

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.31

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.32

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.33

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.33.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.33.2

约去公因数。

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解题步骤 14.33.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.33.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.33.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.33.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.34

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.35

将 ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.36

从 $- {u_{3}}^{- 1}$ 中减去 ${u_{3}}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 14.37

将 ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ 和 $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 16

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 17

由于 $- 2$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 18

${u_{3}}^{- 1}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 19

根据幂法则， ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 20

根据幂法则， ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 21

化简。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 22

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 22.1

使用 ${u_{2}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 22.2

使用 $- u_{1} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 22.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- (1 - x) + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

化简每一项。

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解题步骤 23.1.1

化简每一项。

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解题步骤 23.1.1.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.1.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 23.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + 1 x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.2

合并 $- 1 + x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 23.1.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.3

从绝对值中去掉非负项。

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解题步骤 23.1.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln ({(x + 0)}^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.4

将 ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 23.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.5

化简每一项。

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解题步骤 23.1.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.5.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 23.1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + 1 x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.5.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.6

合并 $- 1 + x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 23.1.6.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x + 0)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.6.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.7

化简。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 23.1.8

化简分母。

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解题步骤 23.1.8.1

将 ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 23.1.8.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

解题步骤 23.1.8.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.8.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

解题步骤 23.1.8.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.2

化简每一项。

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解题步骤 23.1.8.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.2.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 23.1.8.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + 1 x + 1)}^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.2.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + x + 1)}^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.3

合并 $- 1 + x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 23.1.8.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x + 0)}^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C$

解题步骤 23.1.8.4

化简。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3

化简。

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解题步骤 23.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.3.1.1

从 $- 2 \ln (x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3.1.3

重写表达式。

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.3.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3.2.2

约去公因数。

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3.2.3

重写表达式。

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

解题步骤 23.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.3.3.1

将 $- \frac{2}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

解题步骤 23.3.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

解题步骤 23.3.3.3

约去公因数。

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

解题步骤 23.3.3.4

重写表达式。

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{- 1}{x} + C$

解题步骤 23.4

将负号移到分数的前面。

$- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 24

答案是函数 $f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$

微积分学 示例

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