微积分学示例

$y = \frac{3}{x}$ at $(3, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x^{- 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$- \frac{3}{{(3)}^{2}}$

解题步骤 1.7

约去 $3$ 和 ${(3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{2}}$

解题步骤 1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.2.1

从 ${(3)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{1}{3}$ 和给定点 $(3, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x}{3} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + 1$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{x}{3} + 1 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{x}{3} + 2$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{3} x) + 2$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{3} x + 2$

解题步骤 3

微积分学 示例

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