微积分学示例

\int (x^{5} - 4 x^{- 4} + 6 x^{3} + 2 x) d x

$\int (x^{5} - 4 x^{- 4} + 6 x^{3} + 2 x) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

\int x^{5} - 4 x^{- 4} + 6 x^{3} + 2 x d x

$\int x^{5} - 4 x^{- 4} + 6 x^{3} + 2 x d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

\int x^{5} d x + \int - 4 x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x

$\int x^{5} d x + \int - 4 x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 3

根据幂法则，

x^{5}

$x^{5}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{6} x^{6}

$\frac{1}{6} x^{6}$ 。

\frac{1}{6} x^{6} + C + \int - 4 x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int - 4 x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 4

由于

- 4

$- 4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 4

$- 4$ 移到积分外。

\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 \int x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 \int x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 5

根据幂法则，

x^{- 4}

$x^{- 4}$ 对

x

$x$ 的积分是

- \frac{1}{3} x^{- 3}

$- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合

$x^{- 3}$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 6.2

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将

$x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 7

由于

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$6$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 8

根据幂法则，

$x^{3}$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 x d x$

解题步骤 9

由于

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$2$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 \int x d x$

解题步骤 10

根据幂法则，

$x$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$x^{2}$ 。

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.2.2

组合

$2$ 和

$\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.2.3

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.2.3.2

用

$x^{2}$ 除以

$1$ 。

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + x^{2} + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3}{2} x^{4} + x^{2} + C$

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