微积分学示例

$\int \frac{7 x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

解题步骤 1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int \frac{x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

解题步骤 2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x - 3}$

解题步骤 2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$

解题步骤 2.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(2 x - 3) (x + 2)$ 。

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.4

约去 $2 x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.5

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1

约去 $2 x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.1.1

约去公因数。

$x = \frac{A (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.6.1.2

用 $(A) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.6.2

运用分配律。

$x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.6.3

将 $2$ 移到 $A$ 的左侧。

$x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.6.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.4.1

约去公因数。

$x = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.1.6.4.2

用 $(B) (2 x - 3)$ 除以 $1$ 。

$x = A x + 2 A + (B) (2 x - 3)$

解题步骤 2.1.6.5

运用分配律。

$x = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot - 3$

解题步骤 2.1.6.6

使用乘法的交换性质重写。

$x = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot - 3$

解题步骤 2.1.6.7

将 $- 3$ 移到 $B$ 的左侧。

$x = A x + 2 A + 2 B x - 3 B$

解题步骤 2.1.7

化简表达式。

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解题步骤 2.1.7.1

移动 $B$ 。

$x = A x + 2 A + 2 x B - 3 B$

解题步骤 2.1.7.2

移动 $2 A$ 。

$x = A x + 2 x B + 2 A - 3 B$

解题步骤 2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + 2 B$

解题步骤 2.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 2 A - 3 B$

解题步骤 2.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

解题步骤 2.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1

在 $1 = A + 2 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将方程重写为 $A + 2 B = 1$ 。

$A + 2 B = 1$

$0 = 2 A - 3 B$

解题步骤 2.3.1.2

从等式两边同时减去 $2 B$ 。

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

解题步骤 2.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - 2 B$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $1 - 2 B$ 替换 $0 = 2 A - 3 B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 2 (1 - 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简 $2 (1 - 2 B) - 3 B$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = 2 \cdot 1 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.2.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 = 2 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.2.2.1.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

从 $- 4 B$ 中减去 $3 B$ 。

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.3

在 $0 = 2 - 7 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将方程重写为 $2 - 7 B = 0$ 。

$2 - 7 B = 0$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.3.3

将 $- 7 B = - 2$ 中的每一项除以 $- 7$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.3.1

将 $- 7 B = - 2$ 中的每一项都除以 $- 7$ 。

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.3.2.1

约去 $- 7$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

解题步骤 2.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{2}{7}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

使用 $\frac{2}{7}$ 替换 $A = 1 - 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - 2 (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.4.2.1

化简 $1 - 2 (\frac{2}{7})$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1.1

乘以 $- 2 (\frac{2}{7})$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$A = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.4.2.1.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.4.2.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.4.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.2.1.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{7}{7} - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.4.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{7 - 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.4.2.1.2.3

从 $7$ 中减去 $4$ 。

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.3.5

列出所有解。

$A = \frac{3}{7}, B = \frac{2}{7}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{3}{7}}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{3}{7}$ 乘以 $\frac{1}{2 x - 3}$ 。

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

解题步骤 2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 2}$

解题步骤 2.5.4

将 $\frac{2}{7}$ 乘以 $\frac{1}{x + 2}$ 。

$7 \int \frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7 (x + 2)} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$7 (\int \frac{3}{7 (2 x - 3)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{3}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{7}$ 移到积分外。

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 x - 3} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 5

使 $u_{1} = 2 x - 3$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = 2 x - 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $2 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$7 (\frac{3}{7} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{7}$ 。

$7 (\frac{3}{2 \cdot 7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$7 (\frac{3}{14} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

解题步骤 10

由于 $\frac{2}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{7}$ 移到积分外。

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

解题步骤 11

使 $u_{2} = x + 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 11.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 11.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 11.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 12

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C))$

解题步骤 13

化简。

$7 (\frac{3}{14} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $2 x - 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

解题步骤 14.2

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{3}{14}$ 和 $\ln (| 2 x - 3 |)$ 。

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $\ln (| x + 2 |)$ 。

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}) + C$

解题步骤 15.2

要将 $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7} \cdot \frac{2}{2}) + C$

解题步骤 15.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $14$ 的形式。

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解题步骤 15.3.1

将 $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2}) + C$

解题步骤 15.3.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14}) + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14} + C$

解题步骤 15.5

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 15.5.1

从 $14$ 中分解出因数 $7$ 。

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 (2)} + C$

解题步骤 15.5.2

约去公因数。

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2} + C$

解题步骤 15.5.3

重写表达式。

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 15.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)}{2} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{2} (3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)) + C$

微积分学 示例

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