微积分学示例

$y = \ln (| \sin (x) |)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \sin (x) |$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \sin (x) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

解题步骤 3.1.3

使用 $| \sin (x) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \sin (x) |}$ 。

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

重新排序项。

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

解题步骤 3.11.2

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.11.3

约去 $\sin (x)$ 和 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.3.1

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.11.3.2.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.11.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.11.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.11.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cot (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \cot (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$

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