微积分学示例

$\log (1 + x^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.2

$\log (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (2 x)$

解题步骤 2.5

合并分数。

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解题步骤 2.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ 。

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)} x$

解题步骤 2.5.2

组合 $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{2 x}{1 \ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

解题步骤 3.2

将 $\ln (10)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{\ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

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