微积分学示例

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{2^{4 x}}$ 重写为 ${(2^{4 x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

解题步骤 3.1.2

将 ${(2^{4 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = - 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 4 x$ 。

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

解题步骤 3.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- 4$ 移到 $2^{- 4 x} \ln (2)$ 的左侧。

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

解题步骤 3.3.3.3

提取负因数。

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

解题步骤 3.3.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

微积分学 示例

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