微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{3 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用极限幂法则把 ${(4 x + 1)}^{9}$ 的指数 $9$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 \cdot 0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， ${(4 x + 1)}^{9} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{9}$ 且 $g (x) = 4 x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x + 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 u^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用 $4 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.2

根据加法法则， $4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

将 $36 {(4 x + 1)}^{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{1}$

解题步骤 2.4

用 $36 {(4 x + 1)}^{8}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 36 {(4 x + 1)}^{8}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $36$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 36 lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{8}$

解题步骤 3.2

使用极限幂法则把 ${(4 x + 1)}^{8}$ 的指数 $8$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{8}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

解题步骤 3.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{8}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot (3 (12)) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

解题步骤 5.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 12) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

解题步骤 5.1.3

重写表达式。

$12 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

解题步骤 5.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$12 {(0 + 1)}^{8}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$12 \cdot 1^{8}$

解题步骤 5.4

一的任意次幂都为一。

$12 \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12$

微积分学 示例

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